Solución de triángulos: aspectos teóricos

Para  una mejor comprensión de las aplicaciones de la trigonometría en la solución de triángulos es importante recordar los siguientes  aspectos teóricos básicos.

Razones trigonométricas 

Se llaman razones  o relaciones trigonométricas a la razón (cociente) entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos. Consideremos el siguiente triángulo rectángulo ABC  donde    A  es uno de sus ángulos agudos y respecto a este el lado b es el cateto adyacente, a es el cateto opuesto y c es la hipotenusa. 

imagen tomada de:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/01/Trigonometria_01.svg

Se definen entonces  las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) así:

Cálculo  de las razones trigonométricas:

Compruba lo que has aprendido sobre razones trigonométricas resolviendo el siguiente ejercicio:

A y B son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, la hipotenusa del triángulo mide 5cm y el cateto opuesto a B mide 4cm. Determina las razones trigonométricas respecto a los ángulos A y B. ¿Qué puedes concluir de los resultados obtenidos?

Sugerencia:

1. Gráfica el triángulo correspondiente

2.  Determina el valor del lado faltante para lo cual puedes utilizar el teorema de Pitágoras

3. Determina el valor del cateo opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa del triángulo respecto al ángulo A y respecto al ángulo B y sustituye estos valores en las ecuaciones de las  razones trigonométricas

4.  Compara los resultados obtenidos entre la razón seno de un ángulo y coseno del otro, igualmente entre tangente y cotangente y entre secante y cosecante 

      

 Ley del seno

    En cualquier triángulo la longitud de los lados es proporcional a los senos de los ángulos opuestos, luego al consideramos el siguiente triángulo tenemos:

imagen tomada de: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ley_de_los_senos.svg 

    Demostración de la ley del seno:

     

Teorema o ley del coseno

  En cualquier triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos menos el doble producto de éstos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. El planteamiento de la ley del coseno para el triángulo anterior se define de la siguiente manera: 

     Demostración de la ley del coseno:

 Comprueba lo que has aprendido sobre la ley del seno y el teorema del coseno respondiendo:

      

 1. Qué elementos del triángulo deben conocerse para aplicar la ley del seno en la búsqueda             de:

      a) un lado del triángulo

      b) un ángulo del triángulo

  2. Qué elementos del triángulo deben conocerse para aplicar la ley del coseno n la búsqueda             de:

      

       a) un lado del triángulo

       b) un ángulo del triángulo